Как вывести формулу кинетической энергии

Содержание

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела
Примеры решения задач
Кинетическая энергия
Терема о кинетической энергии
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия пружины

Из какого более общего выражения выводится формула кинетической энергии?

Формулу можно вывести из определения работы как разности кинетических энергий А=Ек2-Ек1.

И формулы: работа А=F*S (сила*путь).

Так как F=m*a то A=m*a*S

При этом из кинематики ускорение: a=(V2-V1)/t

S=(V2+V1)*t/2-пу ть при равноускоренном движении.

Подставим эти величины в формулу работы: А=m*((V2-V1)/t)*(( V2+V1)*t/2)

сократим выражение на t и скобки с суммой и разностью скоростей преобразуем в разность квадратов скоростей:

Раскроем скобки: A=m*V2^2/2 — m*V1^2/2.

Таким образом, разность в последней формуле соответствует самой первой формуле.

Получаем формулы для кинетической энергии в каждой точке:

Ек2=m*V2^2/2

Ек1=m*V1^2/2

Вначале выводится формула потенциальной энергии, а из нее уже выводится формула кинетической энергии. Формулу потенциальной энергии получил Исаак Ньютон в своей знаменитой книге "Математические начала натуральной философии". Он рассуждал примерно следующим образом.

Пусть на моей ладони лежит некий предмет. Буду поднимать ладонь с предметом очень медленно и равномерно таким образом, чтобы сила реакции ладони N уравновешивалась силой тяжести предмета P, а кинетическая энергия была бы практически равна нулю из-за очень малой скорости. Куда девается работа A = INT (P dh) = mgh, производимая мною над предметом? Она преобразуется в скрытую потенциальную энергию предмета, которая может перейти в явную кинетическую, если позволить предмету свободно падать.

Теперь смотрите, какая была допущена ошибка Ньютоном. Если на предмет действуют сразу несколько сил F1, F2, F3 и так далее, то для вычисления суммарной энергии, производимой всеми силами вместе, нужно подставлять под знак интеграла результирующую силу, а не одну из частных сил. А Ньютон подставил частную силу, силу веса. Так как в рассмотренном им случае результирующая сила равна нулю (сила веса уравновешивается силой реакции ладони), правильный расчет покажет нулевую работу. А если работа равна нулю, значит энергия предмета не меняется. И если она была равна нулю в начальной точке подъема, то останется равной нулю независимо от высоты подъема. Иными словами, потенциальной энергии в природе не существует. Но на практике мы прекрасно знаем, что подъем любого тяжелого предмета сопровождается затратами энергии. Значит, полученный вывод о нулевой работе ошибочен? Нет, он правилен. Просто работа будет выполняться не над поднимаемым предметом, а над чем-то иным. И формула mgh описывает не потенциальную энергию предмета, а энергию чего-то иного.

Теперь переходим к кинетической энергии. В кинематике (наука о равномерном и неравномерном движении) есть такая формула V1 V1 — V0 V0 = 2aS для ускоренного движения, где V0 — начальная скорость, V1 — конечная скорость, a — ускорение, S — длина проходимого пути. Если в начальный момент времени скорость предмета V0 была равна нулю, то выражая произведение ускорения на длину и подставляя его в формулу потенциальной энергии, получим mVV/2, то есть формулу кинетической энергии. А теперь будем рассуждать. Если комплекс mgh описывает не потенциальную энергию предмета, а что-то иное, тогда получаемая из него формула mVV/2 также будет описывать не кинетическую энергию предмета, а энергию чего-то иного. А чего именно — это я сейчас попробую разъяснить.

Когда мы поднимаем любой предмет, мы преодолеваем сопротивление не предмета, а гравитационного поля. Следовательно, будем совершать работу над гравитационным полем и увеличивать его энергию на величину Е = mgh. А когда мы бросаем предмет, мы через его ускоренное движение деформируем структуру окружающего нас физического вакуума, совершаем над ним работу и увеличиваем его энергию на величину Е = mVV/2. Таким образом, вместо потенциальной энергии существует энергия гравитационного поля, а вместо кинетической энергии существует энергия физического вакуума.

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υi=ωri, тогда кинетическая энергия точки

Читайте также: Как подключить сабвуфер дома к компьютеру

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J — момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис ), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

dA = dE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна

(3.25)

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Примеры решения задач

Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν=720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.

Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения

где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω — ω, причём ω =0 конечная угловая скорость, ω=2πν — начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.

Зная все величины, можно определить тормозящий момент

(2)

Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле

(3)

где β–угловое ускорение.

По условию задачи: ω =ω – βΔt, так как ω=0, ω = βΔt

Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n= 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N= 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.

Момент сил терния М1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения

где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 — момент инерции маховика , ω1= 2πν и ω2= 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков

Тогда

Момент сил трения М2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔEк:

где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.

Тогда , откуда

Отношение будет равно

Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.

Пример 2.3. Масса однородного сплошного диска m, массы грузов m1 и m2 (рис.15). Скольжения и трения нити в оси цилиндра нет. Найти ускорение грузов и отношение натяжений нити в процессе движения.

Проскальзывания нити нет, поэтому, когда m1 и m2 будут совершать поступательное движение, цилиндр будет совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О. Положим для определённости, что m2 > m1 .

Тогда груз m2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему

Первые два уравнения записаны для тел с массами m1 и m2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T1 взят со знаком минус, так как сила T1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I — момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен

Читайте также: Как поменять язык на клавиатуре mac

где R — радиус цилиндра; β — угловое ускорение цилиндра.

Так как проскальзывания нити нет, то . С учётом выражений для I и β получим:

Складывая уравнения системы, приходим к уравнению

Отсюда находим ускорение a грузов

Далее легко найти T1 и T2 и их отношение

Из полученного уравнения видно, что натяжения нитей будут одинаковы, т.е. =1, если масса цилиндра будет гораздо меньше массы грузов.

Пример 2.4. Полый шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В определённый момент на шар начинает действовать сила, в результате чего угол поворота шара изменяется по закону . Определить момент приложенной силы.

Решаем задачу, используя основное уравнение динамики вращательного движения . Основная трудность – определить момент инерции полого шара, а угловое ускорение β находим как . Момент инерции I полого шара равен разности моментов инерции шара радиуса R и шара радиуса r:

где ρ — плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара

Отсюда определим плотность материала шара

Для момента силы M получаем следующее выражение:

Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.

Используем закон сохранения момента импульса

(1)

(Ji-момент инерции стержня относительно оси вращения).

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

По теореме Штейнера

(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а— расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).

Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

Подставим формулы (3) и (4) в (2):

Пример 2.6. Человек массой m=60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν1=12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν2 будет тогда вращаться платформа.

Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса

где — момент инерции системы, когда человек стоит на краю платформы (учли, что момент инерции платформы, равен(R – радиус платформы), момент инерции человека на краю платформы равенmR 2 ).

— момент инерции системы, когда человек стоит в центре платформы (учли, что момент человека, стоящего в центре платформы, равен нулю). Угловая скорость ω1= 2π ν1 и ω1= 2π ν2.

Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем

Энергия — важнейшее понятие в механике. Что такое энергия. Существует множество определений, и вот одно из них.

Что такое энергия?

Энергия — это способность тела совершать работу.

Кинетическая энергия

Рассмотрим тело, которое двигалось под действием каких-то сил изменило свою скорость с v 1 → до v 2 → . В этом случае силы, действующие на тело, совершили определенную работу A .

Работа всех сил, действующих на тело, равна работе равнодействующей силы.

F р → = F 1 → + F 2 →

A = F 1 · s · cos α 1 + F 2 · s · cos α 2 = F р cos α .

Установим связь между изменением скорости тела и работой, совершенной действующими на тело силами. Для простоты будем считать, что на тело действует одна сила F → , направленная вдоль прямой линии. Под действием этой силы тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае векторы F → , v → , a → , s → совпадают по направлению и их можно рассматривать как алгебраические величины.

Читайте также: Как придумать красивый ник для инстаграм

Работа силы F → равна A = F s . Перемещение тела выражается формулой s = v 2 2 — v 1 2 2 a . Отсюда:

A = F s = F · v 2 2 — v 1 2 2 a = m a · v 2 2 — v 1 2 2 a

A = m v 2 2 — m v 2 2 2 = m v 2 2 2 — m v 2 2 2 .

Как видим, работа, совершенная силой, пропорционально изменению квадрата скорости тела.

Определение. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия — энергия движения тела. При нулевой скорости она равна нулю.

Терема о кинетической энергии

Вновь обратимся к рассмотренному примеру и сформулируем теорему о кинетической энергии тела.

Теорема о кинетической энергии

Работа приложенной к телу силы равна изменению кинетической энергии тела. Данное утверждение справедливо и тогда, когда тело движется под действием изменяющейся по модулю и направлению силы.

A = E K 2 — E K 1 .

Таким образом, кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v → , равна работе, которую сила должна совершить, чтобы разогнать тело до этой скорости.

A = m v 2 2 = E K .

Чтобы остановить тело, нужно совершить работу

A = — m v 2 2 =- E K

Потенциальная энергия

Кинетическая энергия — это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными (или диссипативными).

Примеры диссипативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу.

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h 1 в точку с высотой h 2 .

При этом сила тяжести совершила работу, равную

A = — m g ( h 2 — h 1 ) = — ( m g h 2 — m g h 1 ) .

Эта работа равна изменению величины m g h , взятому с противоположным знаком.

Величина Е П = m g h — потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия — часть полной механической энергии системы, находящейся в поле диссипативных(консервативных) сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A = — ( E П 2 — E П 1 ) .

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

Здесь G — гравитационная постоянная, M — масса Земли.

Потенциальная энергия пружины

Представим, что в первом случае мы взяли пружину и удлинили ее на величину x . Во втором случае мы сначала удлинили пружину на 2 x , а затем уменьшили на x . В обоих случаях пружина оказалась растянута на x , но это было сделано разными способами.

При этом работа силы упругости при изменении длины пружины на x в обоих случаях была одинакова и равна

A у п р = — A = — k x 2 2 .

Величина E у п р = k x 2 2 называется потенциальной энергией сжатой пружины. Она равна работе силы упругости при переходе из данного состояния тела в состояние с нулевой деформацией.