Содержание
- Содержание
- Свойства [ править | править код ]
- Построение [ править | править код ]
- Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]
- В природе [ править | править код ]
- Параметры правильного пятиугольника
- Построение пентагона
- Интересные факты
- Видео
- Как выглядит пятиугольник и звезда
5 R 2 4 5 + 5 2 ; <displaystyle <frac <5R^<2>><4>><sqrt <frac <5+<sqrt <5>>><2>>>;>
Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.
Содержание
Свойства [ править | править код ]
- У правильного пятиугольника угол равен
α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ <displaystyle alpha =<frac <(n-2)>>cdot 180^<circ >=<frac <3><5>>cdot 180^<circ >=108^<circ >>
- Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 <displaystyle S=<frac <5><4>>t^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>=<frac <5><12>>Rd=<frac <5><2>>R^<2>sin <frac <2pi ><5>>=5r^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>>, где R <displaystyle R>— радиус описанной окружности, r <displaystyle r>— радиус вписанной окружности, d <displaystyle d>— диагональ, t <displaystyle t>— сторона.
- Высота правильного пятиугольника:
h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t <displaystyle h=<frac <operatorname ,72^<circ >><2>>t=<frac <sqrt <5+2<sqrt <5>>>><2>>tapprox 1<,>539t>
- Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
- Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 <displaystyle <frac <1+<sqrt <5>>><2>>>.
Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
R>
- Радиус вписанной окружности:
r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t <displaystyle r=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><10>>tapprox 0<,>688191
t>
- Радиус описанной окружности:
R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r <displaystyle R=<frac <<sqrt <1>>0<sqrt <5+<sqrt <5>>>>><10>>t=(<sqrt <5>>-1)
r>
- Диагональ:
d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t <displaystyle d=<sqrt <Phi <sqrt <5>>>>R=<frac <<sqrt <5>>+1><2>>tapprox 1<,>902
t>
- Площадь:
S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 <displaystyle S=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>approx 1<,>72048
t^<2>>
- Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
- Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 1 <displaystyle <frac >=Phi ^<4>=3Phi +2=<frac <3<sqrt <5>>+7><2>>approx 6<,>8541>где Φ <displaystyle Phi >— отношение золотого сечения.
Построение [ править | править код ]
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.
Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:
Читайте также: Как записать прошивку биос на флешку
Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]
Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.
В природе [ править | править код ]
Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. [1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.
Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией.
Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская.
Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.
Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.
Параметры правильного пятиугольника
Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:
- сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
- внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.
Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:
- если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
- Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
- При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.
Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:
- с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
- описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
- в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.
Читайте также: Как делать поиск по фото яндекс
Построение пентагона
Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.
Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:
Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:
Интересные факты
В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.
Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.
Читайте также: Как отвязать карту от алиэкспресс без alipay
Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.
Видео
Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.
Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.
Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.
Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.
Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.
Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:
Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.
Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.
Как выглядит пятиугольник и звезда
Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.
Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.
Теперь от точки В до точки С проведем прямую.
Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.
И отрезок DB. Картинка внизу.
Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.
Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.
Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.
Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.
На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.
Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.
Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.
Содержание
- Содержание
- Свойства [ править | править код ]
- Построение [ править | править код ]
- Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]
- В природе [ править | править код ]
- Параметры правильного пятиугольника
- Построение пентагона
- Интересные факты
- Видео
- Как выглядит пятиугольник и звезда
5 R 2 4 5 + 5 2 ; <displaystyle <frac <5R^<2>><4>><sqrt <frac <5+<sqrt <5>>><2>>>;>
Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.
Содержание
Свойства [ править | править код ]
- У правильного пятиугольника угол равен
α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ <displaystyle alpha =<frac <(n-2)>>cdot 180^<circ >=<frac <3><5>>cdot 180^<circ >=108^<circ >>
- Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 <displaystyle S=<frac <5><4>>t^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>=<frac <5><12>>Rd=<frac <5><2>>R^<2>sin <frac <2pi ><5>>=5r^<2>mathop <mathrm > ,<frac <pi ><5>>>, где R <displaystyle R>— радиус описанной окружности, r <displaystyle r>— радиус вписанной окружности, d <displaystyle d>— диагональ, t <displaystyle t>— сторона.
- Высота правильного пятиугольника:
h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t <displaystyle h=<frac <operatorname ,72^<circ >><2>>t=<frac <sqrt <5+2<sqrt <5>>>><2>>tapprox 1<,>539t>
- Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
- Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 <displaystyle <frac <1+<sqrt <5>>><2>>>.
Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
R>
- Радиус вписанной окружности:
r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191 t <displaystyle r=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><10>>tapprox 0<,>688191
t>
- Радиус описанной окружности:
R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 ) r ≈ 0,850 651 t ≈ 1,236 07 r <displaystyle R=<frac <<sqrt <1>>0<sqrt <5+<sqrt <5>>>>><10>>t=(<sqrt <5>>-1)
r>
- Диагональ:
d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902 R ≈ 1,618 t <displaystyle d=<sqrt <Phi <sqrt <5>>>>R=<frac <<sqrt <5>>+1><2>>tapprox 1<,>902
t>
- Площадь:
S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48 t 2 <displaystyle S=<frac <<sqrt <5>><sqrt <5+2<sqrt <5>>>>><4>>t^<2>approx 1<,>72048
t^<2>>
- Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
- Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 1 <displaystyle <frac >=Phi ^<4>=3Phi +2=<frac <3<sqrt <5>>+7><2>>approx 6<,>8541>где Φ <displaystyle Phi >— отношение золотого сечения.
Построение [ править | править код ]
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.
Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:
Читайте также: Как записать прошивку биос на флешку
Получение с помощью полоски бумаги [ править | править код ]
Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.
В природе [ править | править код ]
Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. [1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.
Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией.
Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская.
Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.
Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.
Параметры правильного пятиугольника
Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:
- сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
- внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.
Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:
- если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
- Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
- При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.
Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:
- с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
- описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
- в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.
Читайте также: Как делать поиск по фото яндекс
Построение пентагона
Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.
Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:
Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:
Интересные факты
В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.
Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.
Читайте также: Как отвязать карту от алиэкспресс без alipay
Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.
Видео
Посмотрите, как можно быстро начертить пятиугольник.
Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.
Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.
Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.
Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.
Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:
Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.
Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.
Как выглядит пятиугольник и звезда
Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.
Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.
Теперь от точки В до точки С проведем прямую.
Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.
И отрезок DB. Картинка внизу.
Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.
Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.
Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.
Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.
На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.
Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.
Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.
Источник: