Содержание
- Векторные компоненты
- Единичный вектор
- Сложение векторов
- Умножение вектора на скаляр
- Скалярное произведение двух векторов
- Векторное произведение двух векторов
- Смешанное произведение трех векторов
- Задача обучения
- Основные пункты
- Термины
- Обзор
- Пример
Основы векторного исчисления
Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление. Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок.
Векторная система обозначений имеет два существенных преимущества.
1. Формулировки физических законов в векторной форме не зависят от выбора осей координат. Векторная система обозначений представляет собой такой язык, в котором формулировки имеют физическое содержание даже без введения системы координат.
2. Векторная система обозначений является компактной. Многие физические законы выражаются через векторные величины.
Определим основные операции, которые можно производить с векторами.
Равенство двух векторов
Два вектора и равны, если они имеют одинаковую абсолютную величину и одинаковое направление, можно сравнивать два вектора, определенные в разных точках пространства и в разные моменты времени. Параллельный перенос не меняет значения вектора.
Сложение векторов
Суммой двух векторов называют вектор , проведенный из начальной точки вектора к конечной точке вектора , если вектор перенести параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Причем = + = + , если совместить начало векторов и , то вектор = + = + является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на его сторонах и выходящий из общего начала. Сумма векторов не зависит от порядка, в котором складываются векторы.
Умножение вектора на скаляр
Произведением вектора на число называется вектор , длина которого равна длине первого вектора, умноженной на модуль числа, а направление либо совпадает с начальным вектором, либо противоположно.
и , если и , если .
Произведение числа 0 на любой вектор дает нулевой вектор, который по сути таковым не является ибо он не имеет длины она равна “нулю” и не имеет направления в пространстве. Сумма двух векторов равна нулю тогда и только тогда, когда они равны по модулю и противоположны по направлению. Если k – число, то т. е. умножение вектора на скаляр дистрибутивно.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9375 — | 7304 — или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.
Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.
Читайте также: Как избавиться от баннеров в браузере
Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.
Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.
Векторные компоненты
Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.
Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.
Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .
Единичный вектор
Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.
Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.
Сложение векторов
Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:
Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.
В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее. Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего. При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:
Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:
Умножение вектора на скаляр
Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:
Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.
Скалярное произведение двух векторов
Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью
Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ
B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.
Читайте также: Как обновить роутер тп линк
Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.
Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ех, еY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90 o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:
Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B
мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B
Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:
Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:
Векторное произведение двух векторов
Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.
В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:
Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом
Направление
Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.
Длина
вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.
Начало и конец
Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.
Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.
Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A
В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.
Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.
В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.
При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).
Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:
Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:
Читайте также: Как писать коды для игр
Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.
Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта
Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:
Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:
Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ
Физика > Умножение векторов на скаляр
Умножение векторов на число: описание терминов и определения вектора и скаляра, как провести умножение векторов, свойства вектора и скаляра, пример с графиком.
При умножении вектора на скаляр меняется величина вектора, но не направление.
Задача обучения
- Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами.
Основные пункты
- Вектор характеризуется величиной и направлением.
- Скаляр отображается лишь величиной.
- Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению вектора величины на скаляр.
Термины
- Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
- Скаляр – количество с величиной (лишено направления).
- Величина – число вектора, указывающее на длину.
Обзор
Вектор и скаляры отображают разные типы физических величин, но иногда вынуждены контактировать. Конечно, они обладают разными размерами в пространстве, поэтому добавление невозможно. Однако вектор можно умножить на скаляр, а вот умножить скаляр на вектор не получится.
Чтобы проделать подобную операцию, следует умножать компоненты, а именно величины. Это создаст новый вектор с тем же направлением, но будет уже результатом двух величин.
Пример
Допустим, вы располагаете вектором А с определенными величиной и направлением. Если умножить его на скаляр с величиной 0.5, то новый вектор будет вдвое меньше изначального. Если же величина 3, то втрое больше. Чтобы разобраться детальнее, возьмем силу гравитации. Сила отображает вектор с величиной, зависящей от скаляра (масса), а направление идет вниз. Если массу удвоить, то сила тяжести также удвоится.
(I) – Умножение вектора А на скаляр (а = 0.5) создает вектор В, который вдвое длиннее.
(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает его длину.
(Iii) – Удвоение массы (скаляр) удваивает и силу тяжести (вектор).
В физике умножение вектора на число приносит много пользы. Большая часть единиц в векторных величинах выступает внутренними скалярами, умноженными на вектор. К примеру, м/с для отображения скорости состоит их двух величин: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Теперь вы знаете, как проводить умножение векторов.
Источник: