Содержание
- Список формул двойного угла
- Доказательство формул двойного угла
- Примеры использования формул двойного угла
- Формулы тройного, четверного и т.д. угла
- Перечень всех формул двойного угла
- Доказательство формул двойного угла
- Примеры использования формул при решении задач
- Формулы тройного угла
Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.
Список формул двойного угла
Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .
Ниже приведены формулы двойного угла:
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α
Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .
Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.
Доказательство формул двойного угла
Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:
sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что
sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α
Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .
Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .
Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:
t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α
Примеры использования формул двойного угла
Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .
Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .
Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и
sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что
Читайте также: Как называется вход для зарядки айфона
2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3
и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3
Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.
Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .
Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .
Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6
Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .
Формулы тройного, четверного и т.д. угла
Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.
sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α
При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .
Так же приводится формула косинуса тройного угла:
cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α
При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .
При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:
t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1
Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5 α в виде 3 α + 2 α , что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.
Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2alpha` через эти самые функции угла `alpha`.
Перечень всех формул двойного угла
Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии. Для косинуса их есть три, они все равносильны и одинаково важны.
`sin 2alpha=` `2 sin alpha cos alpha`
`cos 2alpha=cos^2 alpha-sin^2 alpha`, ` cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha`, `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`
`tg 2alpha=frac<2 tg alpha><1-tg^2 alpha>`
`ctg 2alpha=frac<2 ctg alpha>`
Следующие тождества выражают все тригонометрические функции угла ` 2alpha` через функции тангенс и котангенс угла `alpha`.
Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `alpha`, при которых определен `tg 2alpha`, то есть при ` alpha
efracpi4+fracpi2 n, n in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `alpha`, при которых определен `ctg 2alpha`, то есть при ` alpha
efracpi2 n, n in Z`.
Доказательство формул двойного угла
Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.
Читайте также: Как подключить вытяжку в туалете от лампочки
Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:
`sin(alpha+eta)=` `sin alpha cos eta+cos alpha sin eta` и `cos(alpha+eta)=` `cos alpha cos eta-sin alpha sin eta`. Возьмем `eta=alpha`, тогда `sin(alpha+alpha)=` `sin alpha cos alpha+cos alpha sin alpha=2 sin alpha cos alpha`, аналогично `cos(alpha+alpha)=` `cos alpha cos alpha-sin alpha sin alpha=cos^2 alpha-sin^2 alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.
Два другие равенства для косинуса ` cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1` сводятся к уже доказанному, если в них заменить 1 на `sin^2 alpha+cos^2 alpha=1`. Так `1-2 sin^2 alpha=` `sin^2 alpha+cos^2 alpha-2 sin^2 alpha=` `cos^2 alpha-sin^2 alpha` и `2 cos^2 alpha-1=` `2 cos^2 alpha-(sin^2 alpha+cos^2 alpha)=` `cos^2 alpha-sin^2 alpha`.
Чтобы доказать формулы тангенса двойного угла и котангенса, воспользуемся определением этих функций. Запишем `tg 2alpha` и `ctg 2alpha` в виде `tg 2alpha=frac ` и `ctg 2alpha=frac `. Применив уже доказанные формулы двойного угла для синуса и косинуса, получим `tg 2alpha=frac =frac <2 sin alpha cos alpha>` и `ctg 2alpha=frac =` `frac <2 sin alpha cos alpha>`.
В случае с тангенсом разделим числитель и знаменатель конечной дроби на `cos^2 alpha`, для котангенса в свою очередь — на `sin^2 alpha`.
Предлагаем еще посмотреть видео, чтобы лучше закрепить теоретический материал:
Примеры использования формул при решении задач
Формулы двойного угла в большинстве случаев используются для преобразование тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые из случаем, как можно на практике применять их при решений конкретных задач.
Пример 1. Проверить справедливость тождеств двойного угла для `alpha=30^circ`.
Решение. В наших формулах используется два угла `alpha` и `2alpha`. Значение первого угла задано в условии, второго соответственно будет `2alpha=60^circ`. Также нам известны числовые значения для всех тригонометрических функций этих углов. Запишем их:
`sin 30^circ=frac 1 2`, `cos 30^circ=frac <sqrt 3>2`, `tg 30^circ=frac <sqrt 3>3`, `ctg 30^circ=sqrt 3` и
`sin 60^circ=frac <sqrt 3>2`, `cos 60^circ=frac 1 2`, `tg 60^circ=sqrt 3`, `ctg 60^circ=frac <sqrt 3>3`.
Тогда будем иметь
`sin 60^circ=2 sin 30^circ cos 30^circ=` `2 cdot frac 1 2 cdot frac <sqrt 3>2=frac <sqrt 3>2`,
`cos 60^circ=cos^2 30^circ-sin^2 30^circ=` `(frac <sqrt 3>2)^2 cdot (frac 1 2)^2=frac 1 2`,
Что и доказывает справедливость равенств для заданного в условии угла.
Пример 2. Выразить `sin frac <2alpha>3` через тригонометрические функции угла `frac <alpha>6`.
Решение. Запишем угол синуса следующим образом ` frac <2alpha>3=4 cdot frac <alpha>6`. Тогда, применив два раза формулы двойного угла, мы сможем решить нашу задачу.
Вначале воспользуемся равенством синуса двойного угла: ` sinfrac <2alpha>3=2 cdot sinfrac <alpha>3 cdot cosfrac <alpha>3 `, теперь снова применим наши формулы для синуса и косинуса соответственно. В результате получим:
` sinfrac <2alpha>3=2 cdot sinfrac <alpha>3 cdot cosfrac <alpha>3=` `2 cdot (2 cdot sinfrac <alpha>6 cdot cosfrac <alpha>6) cdot (cos^2frac <alpha>6-sin^2frac <alpha>6)=` `4 cdot sinfrac <alpha>6 cdot cos^3 frac <alpha>6-4 cdot sin^3frac <alpha>6 cdot cos frac <alpha>6`.
Ответ. ` sinfrac <2alpha>3=` `4 cdot sinfrac <alpha>6 cdot cos^3 frac <alpha>6-4 cdot sin^3frac <alpha>6 cdot cos frac <alpha>6`.
Формулы тройного угла
Эти формулы, аналогично к предыдущим, дают возможность выразить функции угла ` 3alpha` через эти самые функции угла `alpha`.
Доказать их можно, используя равенства сумы и разности углов, а также хорошо известные нам формулы двойного угла.
`sin 3alpha= sin (2alpha+ alpha)=` `sin 2alpha cos alpha+cos 2alpha sin alpha=` `2 sin alpha cos alpha cos alpha+(cos^2 alpha-sin^2 alpha) sin alpha=` `3 sin alpha cos^2 alpha-sin^3 alpha`.
Заменим в полученной формуле `sin 3alpha=3 sin alpha cos^2 alpha-sin^3 alpha` `cos^2alpha` на `1-sin^2alpha` и получим `sin 3alpha=3 sin alpha-4sin^3 alpha`.
Также и для косинуса тройного угла:
`cos 3alpha= cos (2alpha+ alpha)=` `cos 2alpha cos alpha-sin 2alpha sin alpha=` `(cos^2 alpha-sin^2 alpha) cos alpha-2 sin alpha cos alpha sin alpha+=` `cos^3 alpha-3 sin^2 alpha cos alpha`.
Заменив в конечном равенстве `cos 3alpha=cos^3 alpha-3 sin^2 alpha cos alpha` `sin^2alpha` на `1-cos^2alpha`, получим `cos 3alpha=4cos^3 alpha-3 cos alpha`.
С помощью доказанных тождеств для синуса и косинуса можно доказать для тангенса и котангенса:
Для доказательства формул угла ` 4alpha` можно представить его как ` 2 cdot 2alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.
Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5alpha` можно записать его, как ` 3alpha + 2alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.
Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.
Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:
(lacktriangleright) Основные тождества: [egin <|l|l|>hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1 &(sinalpha
e 0, cosalpha
e 0)[0.5ex] hline & mathrm, alpha=dfrac<sin alpha> <cos alpha>&mathrm, alpha =dfrac<cos alpha> <sin alpha>& 1+mathrm^2, alpha =dfrac1 <cos^2 alpha>& 1+mathrm^2, alpha=dfrac1<sin^2 alpha>& (cosalpha
e 0)& (sinalpha
e 0) hline end]
(lacktriangleright) Формулы сложения углов: [egin <|l|r|>hline & sin<(alphapm eta)>=sinalphacdot cosetapm sinetacdot cosalpha & cos<(alphapm eta)>=cosalphacdot coseta mp sinalphacdot sineta & hline & mathrm, (alphapm eta)=dfrac<mathrm, alphapm mathrm, eta><1 mp mathrm, alphacdot mathrm, eta> & mathrm, (alphapmeta)=-dfrac<1mp mathrm, alphacdot mathrm, eta><mathrm, alphapm mathrm, eta>& cosalphacoseta
e 0&sinalphasineta
e 0 hline end]
Читайте также: Как подключить домашний кинотеатр к компу
(lacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [egin <|lc|cr|>hline sin <2alpha>=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos<2alpha>=cos^2alpha -sin^2alpha sin alphacos alpha =dfrac12sin <2alpha>&& & cos<2alpha>=2cos^2alpha -1 & & & cos<2alpha>=1-2sin^2 alpha hline &&& mathrm, 2alpha = dfrac<2mathrm, alpha><1-mathrm^2, alpha> && & mathrm, 2alpha = dfrac<mathrm^2, alpha-1><2mathrm, alpha>&&& cosalpha
e 0, cos2alpha
e 0 &&& sinalpha
e 0, sin2alpha
e 0 hline &&& sin <3alpha>=3sin alpha -4sin^3alpha && & cos<3alpha>=4cos^3alpha -3cos alpha&&& hline end]
(lacktriangleright) Формулы понижения степени: [egin <|lc|cr|>hline &&& sin^2alpha=dfrac<1-cos<2alpha>>2 &&& cos^2alpha=dfrac<1+cos<2alpha>>2&&& hline end]
(lacktriangleright) Формулы произведения функций: [egin <|c|>hline sinalphasineta=dfrac12igg(cos<(alpha-eta)>-cos<(alpha+eta)>igg)\ cosalphacoseta=dfrac12igg(cos<(alpha-eta)>+cos<(alpha+eta)>igg)\ sinalphacoseta=dfrac12igg(sin<(alpha-eta)>+sin<(alpha+eta)>igg)\ hline end]
(lacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [egin <|l|r|>hline & sin<2alpha>=dfrac<2mathrm, alpha><1+mathrm^2, alpha> & cos<2alpha>=dfrac<1-mathrm^2, alpha><1+mathrm^2, alpha>& cosalpha
e 0 & sinalpha
e 0 hline end]
(lacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [egin <|c|>hline ext<Частный случай> hline sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac<pi>4
ight)>\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac<pi>6
ight)>\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac<pi>3
ight)>\ hline ext<Общий случай> hline asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a<sqrt>, sinphi=dfrac b<sqrt>\ hline end]
Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.
Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.
(lacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -eta)>=cosalphacoseta+sinalphasineta)
Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (eta) . Пусть этим углам соответствуют точки (A) и (B) соответственно. Тогда координаты этих точек: (A(cosalpha;sinalpha), B(coseta;sineta)) .
Рассмотрим ( riangle AOB: angle AOB=alpha-eta) . По теореме косинусов:
(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot cos(alpha-eta)=1+1-2cos(alpha-eta) (1)) (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)
По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:
Таким образом, сравнивая равенства ((1)) и ((2)) :
Отсюда и получается наша формула.
(lacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:
Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)) :
разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacoseta
e 0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,(alphapmeta)=mp mathrm,eta) , при (coseta=0 Rightarrow mathrm,(alphapmeta)=pm mathrm,alpha) ):
Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacoseta
e 0) .
5) Аналогично, только делением на (sinalphasineta
e 0) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.
(lacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:
Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:
1) (sin 2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)
Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:
разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alpha
e 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm,2alpha=0) ):
Таким образом, эта формула верна только при (cosalpha
e 0) , а также при (cos2alpha
e 0) (чтобы существовал сам (mathrm,2alpha) ).
По тем же причинам при (sinalpha
e 0, sin2alpha
e 0) .
5) (sin3alpha=sin(alpha+2alpha)=sinalphacos2alpha+cosalphasin2alpha=sinalpha(1-2sin^2alpha)+cosalphacdot 2sinalphacosalpha=)
6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)
(lacktriangleright) Вывод формул понижения степени:
Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:
1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow cos^2alpha=dfrac<1+cos2alpha>2)
2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow sin^2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)
Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .
(lacktriangleright) Вывод формул произведения функций:
1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:
Получим: (cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta Rightarrow cosalphacoseta=dfrac12Big(cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)Big))
2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:
3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:
(lacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:
Обозначим (alpha+eta=x, alpha-eta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, eta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:
Получили формулу суммы косинусов.
Получили формулу разности косинусов.
Получили формулу суммы синусов.
4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:
Аналогично выводится формула суммы котангенсов.
(lacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:
(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alpha
e 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0) ):)
2) Так же, только делением на (sin^2alpha) , выводится формула для косинуса.
(lacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:
Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.
Рассмотрим выражение (asin x+bcos x) . Домножим и разделим это выражение на (sqrt,) :
(asin x+bcos x=sqrtleft(dfrac a<sqrt>sin x+ dfrac b<sqrt>cos x
ight)=sqrtig(a_1sin x+b_1cos xig))
Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1) , т.к. (left(dfrac a<sqrt>
ight)^2+left(dfrac b<sqrt>
ight)^2=dfrac=1)
Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:
(sqrt,ig(cos phi sin x+sin phicos xig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)
Значит, формула выглядит следующим образом: [<large,sin (x+phi),>> quad ext <где >cos phi=dfrac a<sqrt>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]
(lacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:
(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1<sqrt2>sin xpmdfrac1<sqrt2>cos x
ight)=sqrt2, sin left(xpmdfrac<pi>4
ight))
(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac<sqrt3>2sin xpm dfrac12cos x
ight)=2, sin left(xpmdfrac<pi>6
ight))
(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin xpmdfrac<sqrt3>2cos x
ight)=2,sinleft(xpmdfrac<pi>3
ight))
Источник: